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Question

(B) माना $L = \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{{2^{\frac{x^n}{e^x}}} - {3^{\frac{x^n}{e^x}}}}{x^n}$.चूँकि किसी भी $n \in N$ के लिए $\matho

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$0$

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(B) माना $L = \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{{2^{\frac{x^n}{e^x}}} - {3^{\frac{x^n}{e^x}}}}{x^n}$.चूँकि किसी भी $n \in N$ के लिए $\mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{x^n}{e^x} = 0$,हम $u = \frac{x^n}{e^x}$ ले सकते हैं,जहाँ $x 	o \infty$ होने पर $u 	o 0$.अतः $L = \mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \frac{2^u - 3^u}{x^n}$.चूँकि $x^n = u \cdot e^x$,हमारे पास $L = \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{2^u - 3^u}{u \cdot e^x} = \mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \left( \frac{2^u - 3^u}{u} ight) \cdot \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{1}{e^x}$.मानक सीमा $\mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a$ का उपयोग करने पर,$\mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \frac{2^u - 3^u}{u} = \ln 2 - \ln 3 = \ln \left( \frac{2}{3} ight)$ प्राप्त होता है।जैसे $x 	o \infty$,$e^x 	o \infty$,इसलिए $\frac{1}{e^x} 	o 0$.अतः,$L = \ln \left( \frac{2}{3} ight) \cdot 0 = 0$.

$\mathop {Limit}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{{\left( {{2^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}\,\, - \,\,{{\left( {{3^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}}}{{{x^n}}}\,$ (जहाँ $n \in N$) का मान है

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यदि $f(x) = \text{Sgn}(\text{Sgn}(\text{Sgn}(x)))$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ का मान क्या होगा :-

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{{1 - {n^2}}} + \frac{2}{{1 - {n^2}}} + \frac{3}{{1 - {n^2}}} + \dots + \frac{n}{{1 - {n^2}}}} \right] =$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{11+|x|-6 \sqrt{2+|x|}}}{6-2 \sqrt{2+|x|}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {{x^2} + 8x + 3} - \sqrt {{x^2} + 4x + 3} ) = $

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^{2x}} = {e^3},$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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